分析力学基础
E-L 方程
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d}x}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}=0 \]
能量
\[ E=\sum_i \dot{q}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-L \]
如果 \(L\) 中不含 \(t\)，且只含有 \(\dot{q}\) 二次齐次项，则：
\[ E = T+U \]
如果 \(L\) 中不含 \(t\)，且只有 \(\dot{q}\) 零次其次项、一次其次项和二次其次项，则：
\[ E=T^{2}-T^{0}+U \]
如果拉格朗日方程不显示含有时间 \(t\)，则这个这个系统的机械能守恒。
动量
\[ \boldsymbol{P}=\sum_a \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v_a}} \]
\[ \boldsymbol{P}=\sum_a m_a \boldsymbol{v_a} \]
广义动量：
\[ \boldsymbol{P}_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \]
广义动量包含了通常的动量和角动量。
广义力：
\[ \boldsymbol{F}_i = \frac{\partial L}{\partial q_i} \]
显然：
\[ \dot{\boldsymbol{P}_i}=\boldsymbol{F}_i \]
质心
质心参考系相对于惯性参考系的速度为：
\[ \boldsymbol{V}=\frac{\boldsymbol{P}}{\sum m_a}=\frac{\sum m_a \boldsymbol{v}_a}{\sum m_a} \]
\(\boldsymbol{v}_a\) 为系统中各质点相对于同一惯性参考系的速度，\(\boldsymbol{V}\) 是系统相对于这一惯性参考系整体运动的速度。
\[ \boldsymbol{R}=\frac{\sum m_a \boldsymbol{r}_a}{\sum m_a} \]
如果 \(\boldsymbol{V}=\dot{\boldsymbol{R}}\)，这个点即为系统的质点
质点系中力学系统的能量称为内能 \(E_{\mathrm{int}}\)，它包括系统内质点的相对运动动能呵呵相互作用势能。以速度 \(\boldsymbol{V}\) 做整体运动的系统的能量为：
\[ E = \frac{1}{2}\mu V^2+E_\mathrm{int} \]
其中 \(\displaystyle {\mu = \sum_a m_a}\) 为系统的总重量。
柯尼希定理
柯尼希定理说明了系统的动能等于质心的动能 \(\displaystyle{\frac{\mu V^2}{2}}\)（系统整体运动的动能）与相对于质点运动的动能 \(\displaystyle T^{\prime}=\frac{1}{2\sum_a m v_a^{\prime ~ 2}}\) 之和，即：
\[ T = \frac{1}{2}\mu V^2 + \frac{1}{2}\sum_a m v_a^{\prime~2} \]
其中 \(\boldsymbol{V}=\dot{\boldsymbol{R}}\) 为系统质心的速度，\(\boldsymbol{v}_a^{\prime}\) 为系统中各质点相对于质心参考系的速度。
上述表述说明：柯尼希定理可以将系统的整体运动的动能与其他运动的动能分离开来。对于角动量，也可分为整体移动的角动量和相对于质心的角动量。
将 \(\displaystyle {\frac{1}{2}}\sum_a m v_{a}^{\prime~2}\) 与质点的相互作用势能 \(U\) 相加就是内能，即：
\[ E_{int}=\frac{1}{2}\sum_a m v_{a}^{\prime~2} + U \]
注意：这里假定系统的相互作用势能与参考系无关，也就是说一般它仅与质点之间的相对位置 \(\boldsymbol{r}_a-\boldsymbol{r}_b\) 有关，也可能依赖与时间 \(t\)，即 \(U=U\left(\boldsymbol{r}_a-\boldsymbol{r}_b,t \right)\).
如果系统是孤立的，则上面给出的能量公式就是这个系统的能量。
质心参考系
质心参考系定义为系统总动量为 0 的参考系。
质心参考系有如下有些特点：
- 描述系统力学的一些物理量（如角动量、动能等）均可分解为与质心有关的部分和相对于质心参考系的部分，即与质心有关的部分可以与其他部分完全分离。如此一来，质心参考系中，与系统整体运动情况有关的部分完全不出现，只有涉及相对运动的部分。通常与相对运动有关的性质称为内禀性质，如果内禀角动量、内能等，这些都是与参考系无关的，是系统固有的。在热力学统计物理中，主要关注这样的相对运动。
- 质心相对于惯性参考系可以有加速度，质心参考系一般不是惯性参考系。但，相对于质心参考系，角动量定理和功能原理等具有与惯性参考系中完全相同的形式，其中不出现与惯性力有关部分。在质心参考系中，每个质点均受到惯性力 \(-m_a \ddot{\boldsymbol{R}}\) 的作用，其对质心的力矩为：
\[ \sum_a \boldsymbol{r}^{\prime}_{a}\times(-m_a)\ddot{\boldsymbol{R}}=-\left(\sum_a m_a \boldsymbol{r}^{\prime}_{a} \right) \times \ddot{\boldsymbol{R}}=0 \]
惯性力对系统所作元功为：
\[ \mathrm{d}W=\sum_a \left(-m_a \ddot{\boldsymbol{R}}\right)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r}_a^{\prime}=-\ddot{\boldsymbol{R}}\cdot \mathrm{d}\left(\sum_a m_a \boldsymbol{r}_a^{\prime}\right)=0 \]
- 由于相对于质心参考系系统的总动量总对于 0，这对于在该参考系中处理碰撞、散射等问题将带来非常大的方便。
角动量
对于封闭的力学系统，若它具有与空间的各向同性的转动的不变性，即系统的拉格朗日函数相对与转动变换时不变的，则系统的角动量守恒，即他是运动积分。
系统的角动量定义为：
\[ \boldsymbol{M}=\sum_a \boldsymbol{r}_a\times \boldsymbol{p}_a \]
角动量的值与坐标原点的选取有关（即与参考系的选取有关）。设 \(\boldsymbol{a}\) 为原点 \(O^{\prime}\) 相对于原点 \(O\) 的位矢，则相对于这个两个原点的角动量之间有如下关系：
\[ \boldsymbol{M}=\boldsymbol{M}^{\prime}+\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{P} \]
如果 \(O^{\prime}\) 位于系统的质心，则 \(\boldsymbol{a}=\boldsymbol{R}\), 有：
\[ \boldsymbol{M}=\boldsymbol{M}^{\prime}+\boldsymbol{R}\times \boldsymbol{P} \]
[!NOTE] \(\boldsymbol{M}^{\prime}\) 是系统相对于质心的角动量，称为「内禀角动量」，\(\boldsymbol{R}\times \boldsymbol{P}\) 为将系统的质量集中与质心并以系统的整体速度 \(V\) 运动是相对与 \(O\) 点的角动量，称之为「轨道角动量」
动量与角动量守恒律的统一处理
考察 \(L=L\left( q,\dot{q},t \right)\)，有：
\[ \begin{aligned} \delta L &= \sum_i \left(\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta \dot{q}_i \right)\\ &= \sum_i \left( \frac{\mathrm{d~}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta q_i+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta \dot{q}_i\right) \\ &= \frac{\mathrm{d}~}{\mathrm{d}t} \left( \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta q_i \right) \\ \end{aligned} \]
设坐标变换关系为：
\[ \boldsymbol{r}_a=\boldsymbol{r}_a\left( q_1,q_2,\cdots,q_s,t \right) \]
则有关系：
\[ \delta \boldsymbol{r}_a=\sum_i \frac{\partial \boldsymbol{r}_a}{\partial q_i}, \frac{\partial \boldsymbol{r}_a}{\partial q_i}=\frac{\partial \dot{\boldsymbol{r}}_a}{\partial \dot{q}_i} \]
如果系统的势能 \(U\) 与广义速度无关，即 \(U=U\left( q,t \right)\)，而 \(L=T-U\)，有：
\[ \begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}&=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}\\ &= \frac{\partial ~}{\partial \dot{q}_i}\left( \sum_a \frac{1}{2}m_a \boldsymbol{\dot{r}}_a \cdot \boldsymbol{\dot{r}}_a \right)\\ &=\sum_a m_a \frac{\partial \boldsymbol{\dot{r}}_a}{\partial \dot{q}_i} \cdot \boldsymbol{\dot{r}}_a\\ &= \sum_a m_a \frac{\partial \boldsymbol{r}_a}{\partial q_i}\cdot \boldsymbol{\dot{r}}_a \end{aligned} \]
于是：
\[ \begin{aligned} \delta L &= \frac{\mathrm{d}~}{\mathrm{d}t}\left( \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta q_i \right) \\ &= \frac{\mathrm{d}~}{\mathrm{d}t}\left( \sum_i \sum_a m_a \frac{\partial \boldsymbol{r}_a}{\partial q_i} \cdot \boldsymbol{\dot{r}}_a \delta q_i\right)\\ &= \frac{\mathrm{d}~}{\mathrm{d}t}\left( \sum_a m_a \boldsymbol{\dot{r}}_a \cdot \delta \boldsymbol{r}_a\right) \end{aligned} \]
变换要使得拉格朗日函数导出的运动方程不变，这时 \(\delta L=0\)，则可通过考虑上式得到运动积分。
- 做平移变换时，有 \(\delta \boldsymbol{r}_a=\varepsilon\)，其中 \(\varepsilon\) 为无穷小矢量，则有：
\[ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}~}{\mathrm{d}t}\left( \sum_a m_a \boldsymbol{\dot{r}}_a \cdot \delta \boldsymbol{r}_a\right)&= \frac{\mathrm{d}~}{\mathrm{d}t}\left( \sum_a m_a \boldsymbol{\dot{r}}_a \right)\cdot \varepsilon\\ &=0 \end{aligned} \]
即：
\[ \frac{\mathrm{d}~}{\mathrm{d}t}\left( \sum_a m_a \boldsymbol{\dot{r}}_a \right)=0 \]
故有：
\[ \sum_a m_a \boldsymbol{\dot{r}}_a = \boldsymbol{P}=\operatorname{const} \]
即此系统动量守恒。
- 做转动变换时，有 \(\delta \boldsymbol{r}_a=\delta \boldsymbol{\varphi} \times \boldsymbol{r}_a\)，其中 \(\delta \boldsymbol{\varphi}\) 为无穷小角位移，则有：
\[ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}~}{\mathrm{d}t}\left( \sum_a m_a \boldsymbol{\dot{r}} _a \cdot \delta \boldsymbol{r}_a\right)&=\frac{\mathrm{d}~}{\mathrm{d}t}\left[ \sum_a m_a \boldsymbol{\dot{r}}_a\cdot \left( \delta \boldsymbol{\varphi\times \boldsymbol{r}_a} \right) \right] \\ &= \frac{\mathrm{d}~}{\mathrm{d}t}\left[ \sum_a m_a \delta \boldsymbol{\varphi} \cdot \left( \boldsymbol{r}_a\times \boldsymbol{\dot{r}}_a \right) \right]\\ &=\delta \boldsymbol{\varphi}\cdot \frac{\mathrm{d}~}{\mathrm{d}t}\left[ \sum_a(\boldsymbol{r}_a\times \boldsymbol{\dot{r}_a}) \right]\\ &= \delta \varphi \cdot \frac{\mathrm{d}~}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{M}\\ &=0 \end{aligned} \]
即：
\[ \frac{\mathrm{d}~}{\mathrm{d}t} \boldsymbol{M}=0 \]
有：
\[ \sum_a m_a\left( \boldsymbol{r}\cdot \boldsymbol{\dot{r}}_a \right)=\boldsymbol{M}=\operatorname{const} \]
即此系统角动量守恒。
力学相似性
如何势函数是坐标的 \(k\) 次齐次函数，即对坐标做变换 \(\boldsymbol{r}_a\to \alpha \boldsymbol{r}_a\) 时，有：
\[ U\left( \alpha \boldsymbol{r}_1,\alpha \boldsymbol{r}_2,\cdots,\alpha \boldsymbol{r}_n \right)=\alpha^K U\left(\boldsymbol{r}_1,\boldsymbol{r}_2,\cdots,\boldsymbol{r}_n \right) \]
再对时间做变换 \(t\to \beta t\) 则在满足条件 \(\beta=\alpha^{1-k/2}\) 时，变换后的拉格朗日函数 \(L^{\prime}\) 有关系：
\[ L^{\prime}=\alpha^k \]
\(L^{\prime}\) 和 \(L\) 有相同的运动方程，变换前后的运动轨迹几何上相似
如果力学系统在有限空间中运动，势能时坐标的齐次函数，则动能和势能的时间平均值之间存在关系，称为位力定理：
\[ 2 \overline{T} = \sum_a \overline{\boldsymbol{r}_a \cdot \frac{\partial U}{\partial \boldsymbol{r}_a}} \]
[!NOTE] 其中对时间的平均定义为： \[ \overline{f} = \lim_{\tau \to \infty} \frac{1}{\tau}\int_0^\tau f\left( t \right) \mathrm{d}t \]
如果势能是所有矢径 \(\boldsymbol{r}_a\) 的 \(k\) 次齐次函数，则：
\[ 2 \overline{T}=k \overline{U} \]
对于力学相似性，设 \(t^{\prime}=\beta t,l^{\prime}=\alpha l\) 有如下结论：
\[ \begin{aligned} \frac{t^{\prime}}{t}&=\left( \frac{l^{\prime}}{l} \right)^{1-k/2}\\ \frac{v^{\prime}}{v}&=\left( \frac{l^{\prime}}{l} \right)^{k/2} \\ \frac{E^{\prime}}{E}&=\left( \frac{l^{\prime}}{l} \right)^{k} \\ \frac{M^{\prime}}{M}&=\left( \frac{l^{\prime}}{l} \right)^{1+k/2} \\ \end{aligned} \]
运动方程的积分
一维运动
一维运动指的是自由度为 1 的系统的运动。考虑能量守恒：
\[ \frac{1}{2}m \dot{x}^2 +U\left( x \right)=E \]
可得：
\[ t=\sqrt{\frac{m}{2}}\int \frac{\mathrm{d}x}{E-U\left( x \right)}+\operatorname{const} \]
运动的转折点满足条件：
\[ E=U\left( x \right) \]
转折点处能量全部为势能，即速度为 \(0\)。
如果运动限制在两个转折点之间，运动是有界的，否则是无解的。
有界运动通常是周期运动，周期为：
\[ T\left( E \right)=\sqrt{2m}\int_{x_1\left( E \right)}^{x_2\left( E \right)}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{E-U\left( x \right)}} \]
其中 \(x_1\left( E \right)\) 和 \(x_2\left( E \right)\) 转折点。
根据振动确定势能
对于做有界运动的质点，设 \(x_1,x_2\) 是运动的转折点，且在所考虑的区域中势函数 \(U\) 仅有一个极小值点，假设位于 \(x=0\) 处，则由质点的远动周期可以确定势能 \(U(x)\)，他是下面方程的解：
\[ x_2\left( U \right)-x_1\left( U \right)=\frac{1}{\pi \sqrt{2m}}\int_0^U \frac{T\left( E \right)\mathrm{d}E}{\sqrt{U-E}} \]
[!NOTE]
上述方程不能唯一地确定势能。可以考虑 \(U\) 对称对称的情况，即 \(x_2\left( U \right)=-x_1\left( U \right)\)，此时势能唯一确定为： \[ x\left( U \right)=\frac{1}{2}\left[ x_2\left( U \right)-x_1\left( U \right) \right] \] \(x\left( U \right)\) 的单值表达式为： \[ x\left( U \right)=\frac{1}{2\pi\sqrt{2m}}\int_0^U \frac{T\left( E \right)\mathrm{d}E}{\sqrt{U-E}} \]
约化质量
考察相互作用的两个质点组成的系统的运动问题，称为二体问题。
将二体问题等效为系统的质心运动和两质点相对运动的两个部分。相对运动部分又等价于质量为 \(\displaystyle m=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\) 的质点在外场 \(U\left( \boldsymbol{r} \right)\) 中的运动这样的单体问题，并且这是有心力问题，相应的拉格朗日量为：
\[ L=\frac{1}{2}m \boldsymbol{\dot{r}}^2-U\left( \boldsymbol{r} \right) \]
这里的 \(m\) 称之为约化质量，\(\boldsymbol{r}\) 是两质点的相对位矢 \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2\).