变换
变换是计算机图形学中非常重要的一部分。变换包含模型变换（Modeling transform、视图变换（View transform）以及投影变换（Projection transformation）。模型变换指的是变换模型（被拍摄物体）的位置，大小和角度；视图变换指的是变换照相机的位置和角度。从相对运动的角度来看，模型变换和投影变换是可以相互转化的。投影变换（Projection transformation）是把 3 维模型投影到 2 维平面的变换。
模型变换
二维变换（2D Transformations）
伸缩变换（Scale Transform）
伸缩变换中，如果一个图片以原点 \(\left(0, 0 \right)\) 为中心缩放 \(s\) 倍。那么点 \(\left(x, y \right)\) 变换后数学形式可以表示为：
\[ \begin{align*} x^{\prime} & =s x \\ y^{\prime} & =s y \end{align*} \]
写成矩阵形式为：
\[ \begin{bmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \]
当然，我们也可以给 \(x\) 轴和 \(y\) 轴不同的缩放倍数 \(s_x\) 和 \(s_y\)。在非均匀情况下，缩放变换的矩阵形式为：
\[ \begin{bmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \]
反射变换（Reflection Transform）
反射变换（Reflection）指的是图片对着 \(x\) 轴或者 \(y\) 轴做对称变换。对于图片上的点 \(\left(x, y \right)\) 在经过 \(x\) 轴的对称反射变换后，数学形式可以表示为： \[ \begin{align*} & x^{\prime}=-x \\ & y^{\prime}=y \end{align*} \]
表示成矩阵形式为：
\[ \begin{bmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \]
同理可以得到 \(y\) 轴对称反射变换后的变换矩阵为：
\[ \begin{bmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \]
沿原点反射变换的变换矩阵为：
\[ \begin{bmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \]
错切变换（Shear Transform）
水平方向的错切：
- 对于 \(y = 0\) 上的点来说，其水平移位（Horizontal shift）为 0.
- 对于 \(y = 1\) 上的点来说，其水平移位（Horizontal shift）为 a.
- 垂直移位（Vertical shift ）始终为 0.
变换矩阵为：
\[ \left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 1 & a \\ 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right] \]
垂直方向的错切变换，其变换矩阵为：
\[ \left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ b & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right] \]
旋转变换（Rotate Transform）
默认情况下，都是考虑绕点 \(\left(0, 0\right)\) ，逆时针（CCW）旋转。旋转矩阵的推导如下：
我们在直角坐标系中绘制一个边长为 \(1\) 的正方形，点 \(A\) 坐标为 \(\left(1, 0\right)\)，点 \(B\) 坐标为 \(\left(0, 1\right)\)。正方形沿着原点 \(\left(0, 0\right)\) 旋转的角度为 \(\theta\) 角。我们设：
\[ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \]
代入点 \(A\) 的的值 \(\left(1, 0\right)\) 可以得到：
\[ \begin{bmatrix} \sin \theta \\ \cos \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \]
解方程得到：
\[ \begin{align*} A &= \cos \theta \\ C &= \sin \theta \end{align*} \]
代入点 \(B\) 的的值 \(\left(0, 1\right)\) 可以得到：
\[ \begin{bmatrix} -\sin \theta \\ \cos \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \]
解方程得到：
\[ \begin{align*} B &= -\sin \theta \\ D &= \cos \theta \end{align*} \]
即旋转变换的变换矩阵为：
\[ \mathbf{R}_\theta = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \]
线性变换（Linear Transformations）
对于任何一种变换如果可以写作：
\[ \begin{align*} x^{\prime} & =a x+b y \\ y^{\prime} & =c x+d y \end{align*} \]
矩阵形式可以表示为：
\[ \begin{bmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \]
那么我们认为这种变换是线性变换。
显然，伸缩变换，反射变换，错切变换和旋转变换都是线性变换。
设 \(f\) 为一个线性变换变换，则 \(f\) 满足有以下性质： \[ f\left(x + y\right) = f\left(x\right) + f\left( y\right) \\ f\left(kx\right) = kf\left(x\right) \]
齐次坐标（Homogeneous Coordinates）
平移变换（Translation Transform）
平移变换（Translation）相比于以上的线性变换有特殊的地方。平移变换的数学形式为：
\[ \begin{align*} x^{\prime} & =x+t_x \\ y^{\prime} & =y+t_y \end{align*} \]
这种数学表示不能写作线性变换的矩阵形式，只能记作：
\[ \begin{bmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \end{bmatrix} \]
说明平移操作不是线性变换。但是我们不希望把平移操作看作特殊变换，因此需要把这些变换统一起来，就引入了齐次坐标。
齐次坐标（Homogenous Coordinates）
为了统一变换操作，我们引入一个新的维度。对于二维的点 \(\left(0, 0\right)\) 我们可以增加一个维度，对于 \(2\) 维的点可以表示为 \(\left(x, y, 1\right)^{\mathrm{T}}\)，2 维向量的 \(\left(x, y, 0\right)^{\mathrm{T}}\)。因此，一个点的平移可以用矩阵表示为：
\[ \begin{bmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ w^{\prime} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x+t_x \\ y+t_y \\ 1 \end{bmatrix} \]
齐次坐标就是在原来的坐标上加上一个维度（w-coordinate）：
- 2D point = \(\begin{bmatrix}x & y & 1 \\ \end{bmatrix}\).
- 2D vector = \(\begin{bmatrix}x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\).
用其次坐标表示平移变换： \[ \begin{bmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ w^{\prime} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x+t_x \\ y+t_y \\ 1 \end{bmatrix} \]
当求出来的 w-coordinate 为 1 或者 0 时才是一个有效的操作：
- vector + vector = vector
- point – point = vector
- point - vector = point
- point - point = midpoint
在齐次坐标中，\(\begin{bmatrix}x \\y \\w \end{bmatrix}\) 表示二维空间中的点： \(\begin{bmatrix} \frac{x}{w} \\ \frac{y}{w} \\1 \end{bmatrix}\), \(w \neq 0\).
仿射变换（Affine Transformations）
仿射变换 = 线性变换 + 平移变换。
对于平移变换：
\[ \begin{bmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} t_x \\ t_y \end{bmatrix} \] 使用齐次坐标表示如下： \[ \begin{bmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & b & t_x \\ c & d & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} \]
二维空间仿射变换的齐次坐标表示：
错切变换：
\[ S\left(s_x, s_y\right)=\begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
旋转变换：
\[ R(\alpha)=\begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
平移变换：
\[ T\left(t_x, t_y\right)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
逆变换（Inverse Transform）
设 \(M\) 为一个变换矩阵，对于 \(M\) 来说，\({M}^{-1}\) 为其在代数和几何上的逆变换。
变换的复合和分解（Composing Transforms And Decomposing Complex Transforms）
变换的复合
可以用矩阵的乘法进行变换的组合。变换的先后顺序不同，变换的结果不同。矩阵和向量的乘法是从右到左依次相乘，从右到左依次应用变化。有一个仿射变换序列：\(A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots\) ，依次应用到向量上，如下所示：
\[ A_n\left(\ldots A_2\left(A_1(x)\right)\right)=A_n \cdots A_2 \cdot A_1 \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} \]
根据矩阵运算的结合律, 我们可以先把变换矩阵乘在一起，接下来把这个矩阵的乘积和向量相乘。可以用一个矩阵表示一个复杂的变换。
变换的分解
所有的复杂变换都可以分解成多个普通的变换。
例如，如何绕着容易一个点旋转？
- 将旋转中心平移到原点（origin）；
- 旋转；
- 平移回去。
变换矩阵为： \[ T(c) \cdot R(\alpha) \cdot T(-c) \]
三维变换（3D Transformations）
用其次坐标表示点和向量：
- 3D point = \(\begin{bmatrix}x & y & z & 1 \\ \end{bmatrix}^{T}\)
- 3D vector = \(\begin{bmatrix}x & y & z & 0 \\ \end{bmatrix}^{T}\)
一般来说，\(\left[\begin{array}{l}x & y & z & 1 \\ \end{array}\right]^{T}(w \neq 0)\) 表示三维空间的点：\(\left[\begin{array}{l} \frac{x}{w} & \frac{y}{w} & \frac{z}{w} & 1 \end{array}\right]^{T}\).
用 \(4 \times 4\) 的矩阵表示仿射变换： \[ \begin{bmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & b & c & t_x \\ d & e & f & t_y \\ g & h & i & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} \]
左上角是一个 \(3 \times 3\) 的线性变换矩阵。在仿射变换中的变换矩阵表示先做线性变换再做平移变换。
伸缩变换
\[ S\left(s_x, s_y, s_z\right)=\begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
平移
\[ T \left(t_x, t_y, t_z\right)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
旋转
考虑绕着 \(x, y, z\) CCW 旋转。
\[ \begin{align*} & {R}_x(\alpha)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ & R_y(\alpha)=\begin{bmatrix} \cos \alpha & 0 & \sin \alpha & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin \alpha & 0 & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ & R_z(\alpha)=\begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align*} \]
对于一般性的旋转问题，可以用简单的旋转描述复杂的旋转。用 \(x\) 轴。\(y\) 轴和 \(z\) 轴上的旋转来定义旋转： \[ R_{x y z}(\alpha, \beta, \gamma)=R_x(\alpha) R_y(\beta) R_z(\gamma) \] 称 \(\alpha, \beta, \gamma\) 为欧拉角（Euler angles）。
罗德里格斯旋转公式（Rodrigues’ Rotation Formula）
绕着旋转轴 \(\vec{n}\) 旋转角度 \(\alpha\)。默认旋转轴是过原点的，对于不过原点的条件可以将图形平移到过原点的旋转轴上，旋转后再平移回去。罗德里格斯旋转公式是： \[ R(\boldsymbol{n}, \alpha)=\cos \alpha \cdot I+ (1-\cos \alpha) \boldsymbol{n} \boldsymbol{n}^T+\sin \alpha \cdot\left[\begin{array}{ccc} 0 & -n_z & n_y \\ n_z & 0 & -n_x \\ -n_y & n_x & 0 \end{array}\right] \]
视图变换
在 3 维物体变到二维平面的过程中，我们需要规定好相机的位置。对于相机所做的变换就是视图变换（Viewing / Camera transformation）。
我们需要对相机位置进行定义，对于一个相机我们要规定下面三个属性：
- 相机位置（Position）： \(\vec{e}\).
- 相机拍摄方向（Look-at / Gaze direction）：\(\hat{g}\).
- 相机向上方向（Up direction）：\(\hat{t}\).
根据相对运动我们可以知道，只要相机和被拍摄物体相对位置不变，那么拍摄出来的照片应当是一样的。我们可以通过对被拍摄物体做相同的变换来把相机变换到标准位置。相机的标准位置为：
- 相机位置在原点：\(\left(0, 0\right)\).
- 相机拍摄方向是 \(-z\) 轴方向.
- 相机的向上方向是 \(y\) 轴方向.
将任意位置的相机移动到标准位置需要以下操作：
- 将中心点 \(\vec{e}\) 移动到原点；
- 把 \(\hat{g}\) 旋转到 \(-z\) 轴方向；
- 把 \(\hat{t}\) 旋转到 \(y\) 轴方向；
- 把 \(\hat{g} \times \hat{t}\) 旋转到 \(x\) 轴方向。
操作 2～4 只要满足任意两个，另外一个条件就会满足。也就是说我们需要先做一次平移变换，再做一次旋转变换。
通过 \(M_{view}\) 来变换相机。令 \(M_{view} = R_{view}T_{view}\). \(T_{view}\) 表示平移变换，\(R_{view}\) 表示旋转变换。\(T_{view}\) 的表示如下：
\[ T_{ view }=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_e \\ 0 & 1 & 0 & -y_e \\ 0 & 0 & 1 & -z_e \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
直接求 \(R_{view}\) 比较难，可以考虑其逆变换： \[ R_{view }^{-1}=\begin{bmatrix} x_{\hat{g} \times \hat{t}} & x_t & x_{-g} & 0 \\ y_{\hat{g} \times \hat{t}} & y_t & y_{-g} & 0 \\ z_{\hat{g} \times \hat{t}} & z_t & z_{-g} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\Leftrightarrow R_{view }=\begin{bmatrix} x_{\hat{g} \times \hat{t}} & y_{\hat{g} \times \hat{t}} & z_{\hat{g} \times \hat{t}} & 0 \\ x_t & y_t & z_t & 0 \\ x_{-g} & y_{-g} & z_{-g} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
旋转变换矩阵是正交矩阵。
投影变换（Projection Transformation）
投影变换是把 3 维模型投影到 2 维平面的变换。投影变换分为正交投影（Orthographic projection）以及透视投影（Perspective projection）。正交投影中，投影后原本平行的线保持平行关系。但是透视投影中平行的线在投影后不一定能保持平行关系，会相交到某一点上（这也就是近大远小现象）。
正交投影
正交投影将相机放在原点上，拍摄方向是 \(-z\) 轴方向，向上方向是 \(y\) 轴方向。只需要去掉 \(z\) 轴后，\(xy\) 平面上的图像就是投影结果。为了能够正交投影，我们会把所有模型变换到 \(\left[-1,1\right]^3\) 的区间范围内。
在空间中描述一个立方体（立方体中包含了所有需要绘制的模型），将立方体变换到 \(\left[-1,1\right]^3\) 的区间范围内。
定义空间中的立方体的左右在 \(x\) 轴的坐标，上下在 \(y\) 轴的坐标，远近在 \(z\) 轴的坐标。这个立方体就可以被描述 \(\left[l, r\right] \times \left[b, t \right] \times \left[f, n\right]\)。对于 \(z\) 轴来说，越远 \(z\) 值更小，越近 \(z\) 值更大。远是小于近的，保证了右手坐标系下从 \(-z\) 方向看过去 \(z\) 值的规律。
将这样的立方体映射到正则 / 标准 / 规范（canonical）立方体 \(\left[-1, 1\right]\) 中。
变换方法是先将中心平移到原点，之后对每个边进行缩放到大小为 2。
变换矩阵为：
\[ M_{\text {ortho }}=\begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] ### 透视投影
透视投影是最为广泛的投影方式。透视投影满足近大远小的性质。接下来我们定义视锥。视锥就是一个透视相机渲染时能看到区域的形状，相机放在平面的中心，一个视锥包含 4 个元素：
- 近平面：渲染的区域里相机最近的平面；
- 远平面：渲染的区域里相机最远的平面；
- 视野（Field of view, FOV）：平面顶部和底部中心到相机连线的夹角；
- 宽高比：平面宽度和高度之比。
从一个点射出的四棱锥定义了远和近两个平面。我们可以把远平面缩小成和近平面一样大的长方形，这样视锥就会变成一个立方体。再做一次正交投影就可以得到最终的投影结果了。
我们需要对处于四棱锥中的点进行变换，变换满足三个条件：
- 任何一个在近平面上的点不会发生变化；
- 远平面处的点 \(z\) 值不发生变化；
先将四棱锥变换成长方体，然后再做正交投影变换即可，记将四棱锥变换成长方体的矩阵为：\(M_{persp \rightarrow ortho}\).
从 \(YZ\) 平面看过去，对于远平面上的点 \(\left[x, y, z\right]\) 在投影变换后，根据相似三角形的性质，点的位置变为 \(\left[\frac{n}{z}x, \frac{n}{z}y, z\right]\). 对于任意一个点点 \(\left[x, y, z\right]\) 来说，变化过程为： \[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} \Rightarrow\begin{bmatrix} n x / z \\ n y / z \\ \text { unknown } \\ 1 \end{bmatrix} \stackrel{\times z}{=}\begin{bmatrix} n x \\ n y \\ \text { still unknown } \\ z \end{bmatrix} \] 中间点的 \(z\) 值变化目前是不确定的。但是对于以上的变化结果我们可以得到变换矩阵的部分结果： \[ M_{persp \rightarrow ortho} = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ ? & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \] 接下来求出未知量。对于近平面的上的点，应当满足变换： \[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} n x \\ n y \\ n^2 \\ n \end{bmatrix} \] 因此可以得到方程： \[ \begin{bmatrix} 0 & 0 & A & B \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{bmatrix}=n^2 \] \(n^2\) 显然和 \(x\)，\(y\) 的值没有什么关系，因此 \(x\)，\(y\) 的系数为 \(0\)。但是方程不能解出，还需要一个方程。
对于远平面，我们选择中心点，变换应当满足： \[ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ f \\ 1 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ f \\ 1 \end{bmatrix} == \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ f^2 \\ f \end{bmatrix} \] 可以得到方程： \[ \begin{bmatrix} 0 & 0 & A & B \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ f \\ 1 \end{bmatrix}=f^2 \] 方程展开后可以得到： \[ \begin{align*} & A n+B=n^2 \\ & A f+B=f^2 \end{align*} \] 解得： \[ \begin{aligned} & A=n+f \\ & B=-n f \end{aligned} \] 因此我们就解出了变换矩阵： \[ M_{persp \rightarrow ortho} = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n + f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \]
所以： \[ \begin{align*} M_{persp} &= M_{ortho}M_{persp \rightarrow ortho}\\ \end{align*} \]
透视投影的变换后的正交投影变换矩阵
对于定义好的视锥，我们定义视野角度为 \(\alpha\)，宽高比为 \(radio\)，近平面 \(z\) 值为 \(n\)，那么投影变换后的长方体的中 \(t = n \tan{\frac{\alpha}{2}}\)，\(b=-n\tan{\frac{\alpha}{2}}\)，\(r = radio * n \tan{\frac{\alpha}{2}}\)，\(l=-radio * n \tan{\frac{\alpha }{2}}\) 代入正交投影变化公式中即可。