Physically Based Rendering
Solid Angle
\[ \omega=\frac{A}{r^2}\left[ \mathrm{sr} \right] \]
单位立体角度由以下公式得到：
\[ \begin{align*} \mathrm{d}A &= \left(r \mathrm{d} \theta \right)\left(r \sin {\theta}\mathrm{d}\phi\right) \\ &=r^2 \sin {\theta} \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \phi \\ \mathrm{d}\omega &= \frac{\mathrm{d} A}{r^2} = \sin \theta \mathrm{d} \theta \mathrm{d}\phi \end{align*} \]
这里的 \(\mathrm{d}A\) 是半径为 \(r\) 的球面上的面微分。该面积垂直于所考察的方向。
- \(\mathrm{d}\omega\): 微分立体角，也叫单位立体角，单位 \(\mathrm{sr}\).
- \(\mathrm{d}A\): 球面面微分，单位 \(\mathrm{m}^2\).
- \(r\): 球面半径，单位 \(\mathrm{m}\).
整个球面的立体角是：
\[ \Omega=\int_{S^2} d \omega=\int_0^{2 \pi} \int_0^\pi \sin \theta d \theta d \phi=4 \pi \]
辐射度量学
Radiant Flux
\[ \Phi=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}\left[ \mathrm{W}\right]\left[\mathrm{lm}=\mathrm{lumen} \right] \]
- \(\Phi\): Radiant Flux，单位 \(\mathrm{W}\).
- \(Q\): Radiant Energy，单位 \(\mathrm{J}\).
- t: 时间，单位：\(\mathrm{s}\).
它表示单位时间内传递的辐射能量，可以视为光源发出的总辐射功率。
Radiant Intensity
\[ I\left( \omega \right)=\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}\omega}\left[ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{sr}} \right]\left[ \mathrm{cd} \right] \]
- \(I\): 辐射强度，单位 \(\mathrm{W}/\mathrm{sr}\).
- \(\mathrm{d}\Phi\): 朝着某个方向发射出的辐射通量.
- \(\mathrm{d}\omega\): 该方向对于的单位立体角.
表示光源每单位立体角发出多少辐射功率。
如果对 \(\mathrm{d}\Omega\) 积分：
\[ \begin{align*} \Phi & = \int_{S^2} \mathrm{d} \Phi \\ & = \int_{S^2} I \mathrm{~d} \omega \\ & =4 \pi I \\ \end{align*} \]
也就是说：
\[ I=\frac{\Omega}{4\pi} \]
Irradiance
\[ E\left( \mathbf{p} \right) = \frac{\mathrm{d}\Omega(\mathbf{p})}{\mathrm{d}A\cos \theta}\left[ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^2} \right]\left[ \frac{\mathrm{lm}}{\mathrm{m}^2} \right] \]
- \(E\): 辐照度，单位 \(\mathrm{W}/\mathrm{m}^2\).
- \(\mathrm{d}A\): 接收光能的表面面积.
辐照度描述一个表面实际接收到的光能密度。